题目

题型：不详难度：来源：

如图甲所示，场强大小为E、方向竖直向上的匀强电场内存在着一半径为R的圆形区域，O点为该圆形区域的圆心，A点是圆形区域的最低点，B点是最右侧的点．在A点有放射源释放出初速度大小不同、方向均垂直于场强向右的正电荷，电荷的质量为m，电量为q，不计重力．试求：
（1）电荷在电场中运动的加速度多大？
（2）运动轨迹经过B点的电荷在A点时的速度多大？
（3）某电荷的运动的轨迹和圆形区域的边缘交于P点，∠POA=θ，请写出该电荷经过P点时动能的表达式．
（4）若在圆形区域的边缘有一接收屏CBD，C、D分别为接收屏上最边缘的两点，如图乙，∠COB=∠BOD=30°．求该屏上接收到的电荷的末动能大小的范围．

答案

（1）根据牛顿第二定律得，a=

qE

m

．
（2）由R=v₀t，R=

1

2

at²  及a=

qE

m

得，
联立三个式子可解得：v₀=

qER 2m

．
（3）Rsinθ=v₀t，R-Rcosθ=

1

2

at²及a=

qE

m

三个式子可得v₀²=

Rsin2θ

2m(1-cosθ)

1

2

m v₀²=

Rsin2θ

4(1-cosθ)

=

R(1+cosθ)

4

经过P点时的动能：E_k=Eq（R-Rcosθ）+

1

2

m v₀²=

1

4

EqR （5-3cosθ） 
（4）由第（3）小题的结论可以看出，当θ从0°变化到180°，接收屏上电荷的动能逐渐增大，因此D点接收到的电荷的末动能最小，C点接收到的电荷的末动能最大．（2分）
E_kD=Eq（R-Rcosθ）+

1

2

m v_0D²=

1

4

EqR （5-3cos60°）=

7

8

 EqR
E_kC=Eq（R-Rcosθ）+

1

2

m v_0C²=

1

4

EqR （5-3cos120°）=

13

8

 EqR
所以，屏上接收到的电荷的末动能大小的范围为[

7

8

EqR，

13

8

EqR]
答：（1）电荷在电场中运动的加速度为

qE

m

．
（2）运动轨迹经过B点的电荷在A点时的速度为

qER 2m

．
（3）该电荷经过P点时动能的表达式

1

4

EqR （5-3cosθ）
（4）该屏上接收到的电荷的末动能大小的范围为[

7

8

EqR，

13

8

EqR]．