题目

题型：不详难度：来源：

已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．
（I）求线段中点的轨迹的方程；
（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．

答案

（Ⅰ）（x＞0）
（Ⅱ）.

解析

（I）由题可设，，，其中.
则                                          1分
∵的面积为定值2，
∴.                 2分
，消去，得：．                          4分
由于，∴，所以点的轨迹方程为（x＞0）．
5分
（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由消去得：，                    6分
设点、、、的横坐标分别是、、、，
∴由得                           8分
解之得：．
∴.                       9分
由消去得：，
由消去得：，
∴.                                               10分
由于为的三等分点，∴.                 11分
解之得.                                                   12分
经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.