题目

题型：不详难度：来源：

（13分）
在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q.
（I）求轨迹C的方程；
（II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.

答案

（I）（II）且直线经过定点点

解析

（1）的距离之和是4，
的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，
其方程为                                     …………3分
（2）将，代入曲线C的方程，
整理得 
…………5分
因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，
所以①
设，则
 ②                                        …………7分
且③
显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0），
所以
由
将②、③代入上式，整理得                   …………10分
所以
即经检验，都符合条件①
当b=2k时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点（-2，0）点.
即直线经过点A，与题意不符.
当时，直线的方程为
显然，此时直线经过定点点，且不过点A.
综上，k与b的关系是：
且直线经过定点点                                                                   …………13分