题目

题型：不详难度：来源：

(本小题13分)
已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（m，0）是线段OF上的一个动点，且，求取值范围；
（Ⅲ）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由．

答案

(1)
(2)

解析

（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意知=1．
，
故椭圆方程为．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以. 设的方程为，
代入，得，
设，则，
，，
，
，

，
，
 ，
由，
当时, 有成立． 
（Ⅲ）在轴上存在定点，使得、、三点共线．
依题意知，直线BC的方程为，
令y=0，则，    
∵的方程为，A、B在直线上，
∴
∴
∴在轴上存在定点，使得、、三点共线．  
解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以.
设的方程为，
代入，得，
设，则，    
，，
∵，∴，
∴，
∴，
，∴，
∴∵， ∴，
∴．
当时, , 有成立．    
(Ⅲ) 在轴上存在定点，使得、、三点共线．
设存在，使得、、三点共线， 则∥，
，，
，
即．

，．∴，存在，使、、三点共线．