题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求直线AB的方程;
(Ⅱ)若三角形ABF2的面积等于4,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点M,使得三角形MAB的面积等于8.
答案
(Ⅱ)
(Ⅲ)椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于
解析
(1)根据已知的向量关系,直线过原点,并且向量的垂直关系可以得到点A的坐标,然后将点A的坐标代入椭圆方程中可知得到直线的方程。
(2)连结AF1、BF1、AF2、BF2,由椭圆的对称性可知,参数a,bc的关系式,进而得到椭圆的方程。
(3)由于由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|
假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8
设点M到直线AB的距离为d,则应有
利用三角形的面积公式得到。
解:(Ⅰ)由知,直线AB经过原点,又由知,因为椭圆的离心率等于……2分
设A(),由知
∴A(),代入椭圆方程得 ∴A(),故直线AB的斜率
因此直线AB的方程为……………4分
(Ⅱ)连结AF1、BF1、AF2、BF2,由椭圆的对称性可知
,所以……………6分
又由解得 故椭圆方程为……………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2……………9分
假设在椭圆上存在点M使得三角形MAB的面积等于8
设点M到直线AB的距离为,则应有
∴……………10分
与AB平行且距离为4的直线为
消去x得 ……………13分
此方程无解故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分
另解:设点P(4)为椭圆上任意一点
则P到直线的距离为
……………13分
故椭圆上不存在点M使得三角形MAB的面积等于……………14分
核心考点
试题【(本题满分14分) 已知F1、F2是椭圆的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B也在椭圆上,且满足(是坐标原点),,若椭圆的离心率等于. (Ⅰ)求】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D.或 |
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设,若,求直线的方程.
椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R).
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;
(2)当m=-3时,证明原点O是△PAB的重心,并求直线AB的方程.
如图椭圆的右顶点是,上下两个顶点分别为,四边形是矩形(为原点),点分别为线段的中点.
(Ⅰ)证明:直线与直线的交点在椭圆上;
(Ⅱ)若过点的直线交椭圆于两点,为关于轴的对称点(不共线),
问:直线是否经过轴上一定点,如果是,求这个定点的坐标,如果不是,说明理由.
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