题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分12分）
椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为．点P（1，）、A、B在椭圆E上，且＋＝m（m∈R）．
（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（2）当m＝－3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

答案

（1）;
（2）x+2y+2=0．

解析

本试题主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的运用。
（1）由=及解得a²=4，b²=3，
椭圆方程为；再设出点A,B，利用点差法得到斜率。
（2）由（1）知，点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐标满足
点P的坐标为（1，）, m=-3，   于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．
，进而得到直线的方程。
解：（1）由=及解得a²=4，b²=3，
椭圆方程为；
设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），由得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即
又，，两式相减得
;
（2）由（1）知，点A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）的坐标满足，
点P的坐标为（1，）, m=-3，   于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中点坐标为（，），
又，，两式相减得
;
∴直线AB的方程为y+=（x+）,即x+2y+2=0．