题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆E的方程;
(2)在椭圆E上是否存点Q,使得?若存在,有几个(不必求出Q点的坐标),若不存在,请说明理由.
(3)过椭圆E上异于其顶点的任一点P,作的两条切线,切点分别为M、N,若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n,证明:为定值.
答案
解析
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其性质,考查学生的转化思想和数形结合思想,考查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,先由长轴长得到a的值,设出椭圆的标准方程,利用已知条件数形结合得到C点坐标,将C点坐标代入到椭圆中,得到b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,先设出Q点坐标,利用已知等式计算,可知点Q在直线上,点在直线上,而在椭圆内部,数形结合得存在点Q而且存在2个;法二:用和椭圆方程联立消参,得到关于x的方程,看方程的判别式,判别式大于0时,方程有2个根,则直线与椭圆有2个交点;第三问,设出点P的坐标,由切线的性质得四点共圆,此圆的圆心为,直径为OP,得到此圆的方程,M、N既在此圆上,又在圆O上,2个方程联立,解出直线MN的方程,得出截距的值,再转化出P点坐标代入到椭圆中即可;法二:设出点P、M、N的坐标,利用直线的垂直关系,利用斜率列出等式,转化成直线PM和直线PN的方程,从而得到直线MN的方程.
试题解析:(1)依题意知:椭圆的长半轴长,则A(2,0),
设椭圆E的方程为 2分
由椭圆的对称性知|OC|=|OB|又∵,|BC|=2|AC|
∴AC⊥BC,|OC|=|AC|∴△AOC为等腰直角三角形,
∴点C的坐标为(1,1),点B的坐标为(-1,-1), 4分
将C的坐标(1,1)代入椭圆方程得
∴所求的椭圆E的方程为 5分
(2)解法一:设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则
即点Q在直线上, 7分
∴点Q即直线与椭圆E的交点,
∵直线过点,而点椭圆在椭圆E的内部,
∴满足条件的点Q存在,且有两个. 9分
解法二:设在椭圆E上存在点Q,使得,设,则
即, ① -7分
又∵点Q在椭圆E上,∴, ②
由①式得代入②式并整理得:, -③
∵方程③的根判别式,
∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点Q存在,且有两个. 9分
(3)解法一:
设点,由M、N是的切点知,,
∴O、M、P、N四点在同一圆上, 10分
且圆的直径为OP,则圆心为,
其方程为, 11分
即 -④
即点M、N满足方程④,又点M、N都在上,
∴M、N坐标也满足方程 -⑤
⑤-④得直线MN的方程为, 12分
令得,令得, 13分
∴,又点P在椭圆E上,
∴,即=定值. 14分
解法二:设点则 10分
直线PM的方程为化简得 ④
同理可得直线PN的方程为 -⑤ 11分
把P点的坐标代入④、⑤得
∴直线MN的方程为, 12分
令得,令得, 13分
∴,又点P在椭圆E上,
∴,即=定值. -14分
核心考点
试题【如图所示,已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点,点A是长轴的一个端点,BC过椭圆中心O,且,|BC|=2|AC|.(1)求椭圆E的方程;(2)在椭圆E上是】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若点关于轴的对称点是,证明:直线恒过一定点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M满足,连结CM,交椭圆于点,证明:为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)过点F的直线交抛物线于不同两点A,B,交y轴于点N,已知的值.
(3)直线交椭圆于不同两点P,Q,P,Q在x轴上的射影分别为P′,Q′,满足(O为原点),若点S满足,判定点S是否在椭圆上,并说明理由.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P为椭圆上一点,若过点M(2,0)的直线与椭圆相交于不同两点A和B,且满足(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
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