(1)如图1,P为AB边上的一点,以PD、PC为边作□PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?
(2)如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作□PCQD,请问对角线PQ的长是否存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
(3)若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DE=PD,再以PE、PC为边作□PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由.
(4)如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AE=nPA(n为常数),以PE、PB为边作□PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由。
解:(1)∵四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,
∴∠DPC=90°,
∵AD=1,AB=2,BC=3,
∴DC=2,
设PB=x,则AP=2-x,
在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,
即x2+32+(2-x)2+1=8,化简得x2-2x+3=0,
∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,
∴方程无解,
∴对角线PQ与DC不可能相等.
(2)在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,
则G是DC的中点,过点Q作QH∥BC,交BC的延长线于H,
∵AD∥BC,
∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH,
∵PD∥CQ,
∴∠PDC=∠DCQ,
∴∠ADP=∠QCH,
又∵PD=CQ,
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ,
∴AD=HC,
∴AD=1,BC=3,BH=4,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4.
(3)设PQ与DC相交于点G,PE∥CQ,PD=DE,
∴==,G是DC上一定点,作QH⊥BC,交BC的延长线于H,
同理可证∠ADP=∠QCH,
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ,即==,
∴CH=2,
∵BH=BG+CH=3+2=5,
∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为5.
(4):设PQ与AB相交于点G,
∵PE∥BQ,AE=nPA,
∴=,
∴G是DC上一定点,作QH∥PE,交CB的延长线于H,
过点C作CK⊥CD,交QH的延长线于K,
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴∠D=∠QHC,
∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°,∠PAG=∠QBG,
∴∠QBH=∠PAD,
∴△ADP≌△BHQ,
∴,
∵AD=1,
∴BH=n+1,CH=BH+BC=3+n+1=n+4,
过点D作DM⊥BC于M,则四边形ABND是矩形,
∴BM=AD=1,DM=AB=2×CM=BC-BM=3-1=2=DM,
∴∠DCM=45°,
∴∠KCH=45°,CK=CHcos45°=(n+4),
∴当PQ⊥CD时,PQ的长最小,最小值为(n+4).
(1)求证:△ADF≌△CBE;
(2)求正方形ABCD的面积;
(3)如图2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为h1,h2,h3,试用h1,h2,h3表示正方形ABCD的面积S.
(1)求证CG=BH
(2)FC2=BF·GF;
(3)=。
(1)求证:BE=DF;
(2)当=时,求证:四边形BEFG是平行四边形.
如图1,分别以△ABC的边AC与边BC为边,向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2,过点C作直线KH交直线AB于点H,使∠AHK=∠ACD1作D1M⊥KH,D2N⊥KH,垂足分别为点M,N,试探究线段D1M与线段D2N的数量关系,并加以证明。
(2)拓展延伸
①如图2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点C作直线K1H1,K2H2,分别交直线AB于点H1,H2,使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1,作D1M⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点M,N,D1M=D2N是否仍成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由。
②如图3,若将①中的”,其他条件不变.D1M=D2N是否仍成立?(要求:在图3中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)
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