题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C₁：所围成的封闭图形的面积为，曲线C₁上的点到原点O的最短距离为．以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C₂中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．
①若MO＝2OA，当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

答案

（1）;（2）①;②．

解析

试题分析：（1）对于曲线C₁：的处理，关键问题是两个绝对值的处理，根据x,y的特点，不难发现与坐标系中的四个象限有关，进而即可得到，即可得出椭圆方程; （2）①由l是线段AB的垂直平分线，可转化为：，又由MO＝2OA，可转化得到：，这样的好处是两条件均转化为向量了，设出点M和点A的坐标即可得到关系：解出再利用点M在所求椭圆上即可求出：;②中要求△AMB的面积的最小值，根据此地三角形的特点，不难想到直线AB的设出，根据斜率是否存在，可先考虑两种特殊情况：一种不存在;另一种为0，再考虑一般情形，运用方程组思想即可得：和，进而表示出面积：，最后结合不等式知识即可求出最小值．
试题解析：（1）由题意得 又，解得，．
因此所求椭圆的标准方程为．                                4分
（2）①设，，则由题设知：，．
即 解得                               8分
因为点在椭圆C₂上，所以，
即，亦即．
所以点M的轨迹方程为．                                   10分
②假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．
解方程组 得，，
所以，.
又 解得，，所以．     12分
由于
，
当且仅当时等号成立，即k＝±1时等号成立，
此时△AMB面积的最小值是S_△AMB＝．                                 15分
当k＝0，S_△AMB；
当k不存在时，S_△AMB．
综上所述，△AMB面积的最小值为．                                    16分