题目

题型：不详难度：来源：

已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.
（ⅰ）若直线垂直于轴，求的大小;
（ⅱ）若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.

答案

（1）椭圆的标准方程为.
（2）不存在，详见解析

解析

解：（1）设椭圆的标准方程为，且.
由题意可知：，.            
所以.            
所以，椭圆的标准方程为.     
（2）由（1）得.设.
（ⅰ）当直线垂直于轴时，直线的方程为.
由 解得：或
即（不妨设点在轴上方）.
则直线的斜率，直线的斜率.
因为 ，
所以.
所以 .
（ⅱ）当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.
由消去得：.
因为 点在椭圆的内部，显然.
               
因为 ，，，
所以


.
所以 .
所以 为直角三角形.
假设存在直线使得为等腰三角形，则.

取的中点，连接，则.
记点为.
另一方面，点的横坐标，
所以 点的纵坐标.
所以
.
所以 与不垂直，矛盾.
所以 当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形