题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，以弦为直径的圆过坐标原点，试探讨点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

答案

（1）；（2）是定值，定值为．

解析

试题分析：（1）利用椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（2）分类讨论，①当轴时，得②当与轴不垂直时，设直线的方程为．联立，得，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，则有，得，再利用点到直线的距离公式，即可求得结论．
解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意   ，  
所求椭圆方程为．
（2）设，．
①当轴时，设方程为：，此时两点关于轴对称，
又以为直径的圆过原点，设代人椭圆方程得：
②当与轴不垂直时，
设直线的方程为．联立，
整理得，
，．
又。
由以为直径的圆过原点，则有。 即： 故满足：   得：  
所以=。又点到直线的距离为：。
综上所述：点到直线的距离为定值．