题目
题型:不详难度:来源:
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
答案
解析
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆相交问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和左焦点到点P的距离列出方程组,解出基本量a,b,c,从而得到椭圆的标准方程;第二问,用直线与椭圆联立,消参得到关于x的方程,利用韦达定理得到和,由于AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以,利用向量的数量积的运算公式,将前面的式子都代入,得到 或 m = -2k,经验证都符合题意,则分别求出定点坐标,再验证,最终得到结论.
试题解析:(1)由题: ①
左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:② 2分
由①②可解得c =" 1" , a =" 2" , b 2 = a 2-c 2 = 3. 3分
∴所求椭圆 C 的方程为. 4分
(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y =" kx" + m代入椭圆方程得
(4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0.
∴,, 6分
且y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + m.
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以. 7分
所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) (x2-2) + (kx1 + m) (kx2 + m)
= (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4
= (k 2 + 1)·-(km-2)·+ m 2 + 4 =" 0" . 10分
整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴ 或 m = -2k 都满足 △ > 0. 12分
若 m = -2k 时,直线 l 为 y = kx-2k =" k" (x-2) ,恒过定点 A2(2,0),不合题意舍去; 13分
若时,直线 l 为, 恒过定点 . 14分
核心考点
试题【椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为.(1) 求椭圆的标准方程;(2) 若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,】;主要考察你对椭圆的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求椭圆的方程;
(2)设的右焦点为,在圆上是否存在点,满足,若存在,指出有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.
A.1 | B. | C.2 | D. |
(1)求C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
(1)若原点到直线的距离为,求椭圆的方程;
(2)设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A,B两点.
当,求b的值;
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A、B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.
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