题目

题型：北京高考真题难度：来源：

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点。
（1）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M，求证：点M在双曲线上。

答案

解：（1）由图可知，该椭圆的方程为，所以
该椭圆的方程为
准线方程为。（2）设K点坐标，点P、P₁的坐标分别记为，
其中，则……①
直线A₁P，P₁A的方程分别为：……②
……③
②式除以③式得
化简上式得，代入②式得
于是，直线A₁P与AP₁的交点M的坐标为
因为
所以，直线A₁P与AP₁的交点M在双曲线上。