题目

题型：河北省期末题难度：来源：

设双曲线（a＞0）的两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为2，
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l₁、l₂上的动点，且2|AB|=5|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程。

答案

解：（Ⅰ） ∵e=2，
∴c²=4a²，
∵c²=a²+3，
∴a=1，c=2，
∴双曲线方程为，渐近线方程为y=±x；
（Ⅱ）设A（x₁， y₁），B（x₂， y₂），AB的中点M（x，y），
∵，
∴=10，
∴=10，
又∵y₁=x₁，y₂=x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y₁+y₂=（x₁-x₂），y₁-y₂=（x₁+ x₂），
∴=10，
∴3（2y）²+（2x）²=100，
∴，即为M的轨迹方程。