题目
题型:不详难度:来源:
答案
d=|x1+|=x1+,由双曲线的定义,=e=,∴|AF1|=(x1+)=x1+2,
同理,|BF1|=x2+2,∴|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)
双曲线的右焦点为F2(,0),
(1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为:y=k(x─),
由消去y得 (1─4k2)x2+8k2x─20k2─4=0,
∴x1+x2=, x1x2= ─, 代入(1)整理得
|F1A|·|F1B|=+4=+4=+4=+
∴|F1A|·|F1B|>;
(2)当直线AB垂直于x轴时,容易算出|AF2|=|BF2|=,
∴|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), ∴|F1A|·|F1B|=
由(1), (2)得:当直线AB垂直于x轴时|F1A|·|F1B| 取最大值
解析
|F1A|·|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 ,将直线方程和双曲线的方程联立消元,得x1+x2=, x1x2= ─.本题要注意斜率不存在的情况.
核心考点
试题【已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2,且与双曲线的右支交于A、B两点,将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来,求|F1A|·|F1B|的最小值】;主要考察你对直线的倾斜角与斜率等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线l1:x=m(|m|>1),P为l1上的动点,使∠F1PF2最大的点P记为Q,求点Q的坐标(用m表示).
⑴.已知a=1,b=2,p=2,求点Q的坐标。
⑵.已知点P(a,b)(ab≠0)在椭圆+y2=1上,p=,求证:点Q落在双曲线4x2-4y2=1上。
⑶.已知动点P(a,b)满足ab≠0,p=,若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上,试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上,并说明理由。
(1)求的取值范围;
(2)证明这4个次点共圆,并求圆半径的取值范围.
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