题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥AB，PC⊥BC，AC=PC=，PA=，PB=，D、F分别是PB、AC的中点，
(1)求证直线DF⊥平面ABC；
(2)求二面角C-PA-B大小的余弦值．

答案

(1)证明：如图①，取AB、BC的中点E、G，连接DE、EF、DG、FG，
则FG∥AB，EF∥BC，DE∥PA，
∵PA⊥AB，∴DE⊥AB，
由勾股定理可得AB=2，BC=1，
又AC=，
∴AC²=AB²+BC²，
∴AB⊥BC，∴EF⊥AB，
∴AB⊥平面DEF，
∴DF⊥AB，同理DF⊥BC，
又AB、BC相交于B点，
∴直线DF⊥平面ABC。 (2)解：如图②，取PA的中点Q，连接QD，DC，QC，
∵PC=CA，PQ=QA，∴CQ⊥PA，
∵AB∥QD，AB⊥PA，
∴DQ⊥PA，
∴∠DQC为二面角C-PA-B的平面角，
在Rt△PCB中，，
在△PAB中，，
在△QAC中，，
所以，在△DQC中，由余弦定理，可得，
∴二面角C-PA-B的大小的余弦值为。