题目

题型：不详难度：来源：

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E为AB的中点．
（1）求直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角大小；
（2）试确定直线BC₁与平面EB₁D的位置关系，并证明你的结论；
（3）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

答案

（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
A₁B₁⊥平面BC₁
∴A₁B₁⊥BC₁
又∵B₁C⊥BC₁
∴BC₁⊥平面A₁C
设B₁C∩BC₁=H，
则∠C₁A₁H是直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角
又∵A₁C₁=

2

a，C1H=

2

2

a
∴sin∠C₁A₁H=

1

2

∴∠C₁A₁H=30°
（2）直线BC₁∥平面EB₁D，理由如下：
取DB₁的中点O，则OH∥DC∥AB，OH=EB
∴四边形OHBE是平行四边形
∴BH∥EO
∴EO∥平面EB₁D，
∴BC₁∥平面EB₁D
证明：（3）∵BC₁⊥平面A₁C，BH∥EO
∴EO⊥平面B₁CD
∵EO⊂平面EB₁D
平面EB₁D⊥平面B₁CD