题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁的中点．

（1）求直线A₁E与平面BDD₁B₁所成的角的正弦值
（2）求点E到平面A₁DB的距离

答案

（1）．（2）即点到平面的距离为．

解析

试题分析：以DA、DC、DD₁所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，

则D（0，0，0），A（a，0，0）．B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，a，），A₁（a，0，a）． …………3分
（1）设直线A₁E与平面BDD₁B₁所成的角为．
因为AC平面BDD₁B₁，所以平面BDD₁B₁的法向量为
，又．

所以 ．……………………………………………………………………6分
（2）设=为平面A₁DB的法向量，
，  ………………………………………8分
 又 ………………………11分
即点到平面的距离为．…………………………………………………12分
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，（2）小题，将立体问题转化成平面问题，这也是解决立体几何问题的一个基本思路。应用空间向量，则可使问题解答得以简化。