题目

题型：不详难度：来源：

(2014·海淀模拟)如图,在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠BAC=90°,AB=AC=AA₁,且E是BC中点.

(1)求证：A₁B∥平面AEC₁.
(2)求证：B₁C⊥平面AEC₁.

答案

（1）见解析      （2）见解析

解析

(1)连接A₁C交AC₁于点O,连接EO,
因为ACC₁A₁为正方形,所以O为A₁C中点.
又E为CB中点,所以EO为△A₁BC的中位线,
所以EO∥A₁B.
又EO⊂平面AEC₁,A₁B⊄平面AEC₁,
所以A₁B∥平面AEC₁.
(2)因为AB=AC,又E为CB中点,
所以AE⊥BC,
又因为在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,
BB₁⊥底面ABC,  
又AE⊂底面ABC,所以AE⊥BB₁,
又因为BB₁∩BC=B,所以AE⊥平面BCC₁B₁,
又B₁C⊂平面BCC₁B₁,
所以AE⊥B₁C.
在矩形BCC₁B₁中,
tan∠BCB₁=tan∠EC₁C=,
所以∠BCB₁=∠EC₁C,
所以∠BCB₁+∠CEC₁=90°,
即B₁C⊥EC₁.
又AE∩EC₁=E,所以B₁C⊥平面AEC₁.