题目

题型：期中题难度：来源：

三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A₁B₁C₁，，A₁A⊥平面
ABC，，，AC=2，，。
（Ⅰ）证明：平面A₁AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值。

答案

解：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，
则，
∵BD：DC=1：2，
∴，
∴D点的坐标为，
∴，，
，
，，
∴，，
又，
∴BC⊥平面，
又平面，
∴平面平面。
（Ⅱ）设平面的法向量为，则，
即，
取，得，
∴，
因此，AA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为。