题目

题型：0113 期中题难度：来源：

如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=1，∠B=90°，∠C=135°，沿对角线AC将△ABC折起，使平面ABC⊥平面ACD。
（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-C的大小。

答案

（Ⅰ）证明：∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
又平面四边形ABCD中，∠C=135°，
∴∠DCA=90°，∴DC⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，DC平面ACD，
∴DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD，
∵DC∩BC=C，
∴AB⊥平面BCD，
∵AB平面ABD，
∴平面ABD⊥平面PCD。
（Ⅱ）解：设AC的中点为O，连结BO，过O作OE⊥AD于E，连结BE，
∵AB=BC，O为AC的中点，
∴BO⊥AC，
∵平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，BO平面ABC，
∴BO⊥平面ACD，
∵OE⊥AD，
∴BE⊥AD，
∴∠BEO为二面角B-AD-C的平面角，
在Rt△ABC中，BO=，AC=，
∴在Rt△DCA中，AD=，∴OE=，
∴在Rt△BOE中，，∴∠BEO=60°，
∴二面角B-AD-C的大小为60°。