题目

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点。
（1）求直线D₁C与底面ABCD所成的角；
（2）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（3）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁。

答案

（1）解：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴DD₁⊥ABCD，
∴∠DCD₁即为直线CD₁与平面ABCD所成的角，
∴DD₁⊥CD且DD₁=CD，
∴∠DCD₁=45°，即直线CD₁与平面ABCD所成的角45°。（2）证明：连结BD，在正方体中，对角线BD∥B₁D₁，
又E、F为棱AD、AB的中点，
∴EF∥BD，即EF∥B₁D₁，
又B₁D₁平面，平面，
∴EF∥平面。（3）证明：在正方体中，AA₁⊥平面，而B₁D₁平面，
∴AA₁⊥B₁D₁，
又在正方形中，A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁∩AA₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，
又B₁D₁平面，
∴平面CAA₁C₁⊥平面。