题目

题型：海南省高考真题难度：来源：

如图，A，B，C，D为空间四点。在△ABC中，AB=2，AC=BC=。等边三角形ADB以AB为轴转动，
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
（Ⅱ）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论。

答案

解：（Ⅰ）取AB的中点E，连结DE，CE，
因为ADB是等边三角形，所以DE⊥AB，
当平面ADB⊥平面ABC时，
因为平面，
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE，
由已知可得DE=，EC=1，
在Rt△DEC中，。

（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD。
证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD；
（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE，
又因AC=BC，所以AB⊥CE，
又DE，CE为相交直线，
所以AB⊥平面CDE，
由平面CDE，得AB⊥CD；
综上所述，总有AB⊥CD。