题目

题型：不详难度：来源：

已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且，俯视图中分别是所在边的中点，设为的中点.
（1）求其体积；（2）求证：;
(3)边上是否存在点，使？若不存在，说明理由；若存在，请证明你的结论.

答案

（1）（2）见解析（3）当与重合即为边的中点时，使

解析

（1）该几何体的直观图为平放正三棱柱且体积为...........4分
（2）取的中点分别为，连接，由正三棱柱的性质得，又，为的中点,  ∴
∴四边形为平行四边形   ∴
由正三角形的边的中点      ∴
又由正三棱柱的性质得, ∴且 ∴   ∴
又 ∴……………………10分
（3）由（2）知，且∴
故当与重合即为边的中点时，使………….16分