题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）
如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求A₁B与平面A₁C₁CA所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-A₁D-A的大小；
（Ⅲ）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A₁BD．

答案

,,线段AC的中点F

解析

解：（Ⅰ）连接A₁C.∵A₁B₁C₁－ABC为直三棱柱，∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC.

∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA.
∴为与平面A₁C₁CA所成角，.
∴与平面A₁C₁CA所成角为.
（Ⅱ）分别延长AC，A₁D交于G. 过C作CM⊥A₁G于M，连结BM，
∵BC⊥平面ACC­₁A₁，∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，
∴BM⊥A₁G，∴∠CMB为二面角B—A₁D—A的平面角，
平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，
∴CG=2，DC="1" 在直角三角形CDG中，，.
即二面角B—A₁D—A的大小为.
（Ⅲ）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A₁BD.
证明如下：
∵A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，∴B₁C₁//BC，
∵由（Ⅰ）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，
∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，当F为AC的中点时，
C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D.
同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面A₁BD.
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）∵A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，
AC⊥CB，D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点.
建立如图所示的坐标系得：
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
C₁（0，0，2）， B₁（2，0，2）， A­₁（0，2，2），
D（0，0，1）， E（1，0，2）.
，设平面A₁BD的法向量为，
 .
平面ACC₁A₁­的法向量为=（1，0，0），.
即二面角B—A₁D—A的大小为.
（Ⅲ）F为AC上的点，故可设其坐标为（0，，0），∴.
由（Ⅱ）知是平面A₁BD的一个法向量，
欲使EF⊥平面A₁BD，当且仅当//.
∴，∴当F为AC的中点时，EF⊥平面A₁BD.