题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:平面AEC⊥平面AMN; (6分)
(2)求二面角M-AC-N的余弦值。 (6分)
答案
(1)略
(2)
解析
(1)MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ANCD,由直角三角形易得:AM=AN=MN=NC=MC=,E是MN中点,可得AE⊥MN,CE⊥MN,又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC;
(2)这里也有多种方法:
连接BD交AC与点O,底面是正方形得AC⊥BD,OE//MD推得OE⊥AC,得AC⊥平面MDBN,所以∠MON就是二面角M-AC-N的平面角,在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=。
(亦可把二面角M-AC-N,拆成两个二面角M-AC-E和E-AC-N;或者抽取出正四面体MNAC,再求侧面与地面所成角;或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角)
方法二、向量几何
MD⊥平面ABCDMD⊥DA,MD⊥DC,又底面ABCD为正方形DA⊥DC,故以点D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DM为z轴,如图建立空间直角坐标系。
则各点的坐标A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),M(0,0,1),N(1,1,1),
E(,,1) ……3分
(1) ·=…=0MN⊥AE;
·=…=0MN⊥AC
又AC∩AE=E,故MN⊥平面AEC; ………7分
(2)不妨设平面AMC的法向量为=(1,y,z),平面ANC的法向量为=(1,m,n) 则由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标解得=(1,1,1)---9分
由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标运算得=(1,1,-1)--11分
Cos<,>== -------12分
核心考点
试题【(本小题12分)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E是MN的中点。(1)求证:平面AEC⊥平面A】;主要考察你对空间几何体的结构特征等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知正方体ABCD—A1B1C1D1,其棱长为2,O是底ABCD对角线的交点。
求证:
(1)C1O∥面AB1D1;
(2)A1C⊥面AB1D1。
(3)若M是CC1的中点,求证:平面AB1D1⊥平面MB1D1
如图,直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的高为3,
底面是边长为4, 且∠BAD=60°的菱形,AC∩
BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是线段AO1上一点.
(Ⅰ)求点A到平面O1BC的距离;
(Ⅱ)当AE为何值时,二面角E-BC-D的大小为.
(1)求二面角M—AD—C的大小;(6分)
(2)如果∠AMD=90°,求线段AD的长。(6分)
如图,在体积为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1=1,P为线段AB上的动点.
(1)求证:CA1⊥C1P;
(2)当AP为何值时,二面角C1-PB1-A1的大小为?
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