题目
题型:福建省高考真题难度:来源:
(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);
(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。
答案
当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7;
当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16;
当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t2+8t
综上,。
(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,
即函数φ(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点
∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m
∴φ′(x)=
当x∈(0,1)时,φ"(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(0,3)时,φ"(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ"(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1,或x=3时,φ"(x)=0
∴φ(x)最大值=φ(1)=m-7,φ(x)最小值=φ(3)=m+6ln3-15
∵当x充分接近0时,φ(x)<0,当x充分大时,φ(x)>0
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须
即7<m<15-6ln3
∴存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,
m的取值范围为(7,15-6ln3)。
核心考点
试题【已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m。(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥f(1)
D.f(0)+f(2)>2f(1)
(2)求面积S的最大值。
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