题目

题型：四川省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²﹣1．
（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最值；
（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x²﹣1）成立，求实数k的取值组成的集合．

答案

解：（1）
求导函数可得，
所以函数h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
所以h（x）的最大值为h（1）=0．
（2）令函数F（x）=lnx﹣k（x²﹣1）得

当k≤0时，F"（x）＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）递增，故x＞1时，F（x）＞F（0）=0不满足题意．
当k＞0时，当时，F"（x）＞0恒成立，函数F（x）递增；
当时，F"（x）＜0恒成立，函数F（x）递减．
所以；
即 F（x）的最大值．
令，则．
令函数，

所以当t∈（0，1）时，函数H（t）递减；
当t∈（1，+∞）时，函数H（x）递增；
所以函数H（t）≥H（1）=0，从而，
∴就必须当，即时成立．
综上．