已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）当0＜a＜b时，求证． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：湖北省期末题难度：来源：

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；
（2）当0＜a＜b时，求证

．

答案

（1）解：∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）﹣x
∴g（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），
∴

令g"（x）=0，得x=0
当﹣1＜x＜0时，g"（x）＞0，
当x＞0时，g"（x）＜0，
又g（0）=0
∴当且仅当x=0时，g（x）取得最大值0
（2）证明：

由（1）知

又∵0＜a＜b，
∴a²+b²＞2ab，
∴

∴

核心考点

试题【已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）当0＜a＜b时，求证．】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

设函数f（x）=lnx+x²+ax．
（Ⅰ）若

时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣x²+1，当a=﹣1时，证明g（x）≤0在其定义域内恒成立，并证明

（n∈N，n≥2）．

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函数f（x）=x³﹣3x（0≤x≤2）的值域为　 [ ]
A．[﹣2，2]
B．[0，2]
C．[﹣1，1]
D．[﹣2，0]

题型：四川省月考题难度：| 查看答案

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：
C（x）=

，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

题型：新疆自治区月考题难度：| 查看答案

设函数f（x）=x³+a

﹣a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范围．

题型：新疆自治区月考题难度：| 查看答案

若函数f（x）=2x³﹣3x²﹣12x+a在区间[0，2]上的最大值为5，则a的值是（）．

题型：江苏同步题难度：| 查看答案

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