题目

题型：月考题难度：来源：

已知函数f（x）=x²﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试说明是否存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与无公共点．

答案

解：（1）函数f（x）=x²﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，，
所以f（x）在为减函数在为增函数，
所以函数f（x）的最小值为=．
（2），
若a≤0时，则，f（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则，故当，f"（x）=≤0，
当时，f（x）=≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为，f（x）的增区间为
（3）a≥1时，由（2）知f（x）在（1，+∞）的最小值为，
令=在[1，+∞）上单调递减，
所以，则＞0，
因此存在实数a（a≥1）使f（x）的最小值大于，
故存在实数a（a≥1）使y=f（x）的图象与无公共点