题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，试求a的取值范围．

答案

解：（Ⅰ）f′（x）=a^xlna+2x﹣lna=2x+（a^x﹣1）lna  
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增  
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f′（0）=0，且f′（x）在R上单调递增，
故f′（x）=0有唯一解x=0
所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表所示：

又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，
所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，
所以t﹣1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2；
（Ⅲ）因为存在x₁，x₂∈[﹣1，1]，使得|f（x₁）﹣f（x₂）|≥e﹣1，
所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））_max﹣（f（x））_min| =（f（x））_max﹣（f（x））_min≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，
所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））_min=f（0）=1，（f（x））_max=max{f（﹣1），f（1）}，
而，
记，
因为（当t=1时取等号），
所以在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）
①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≤e﹣1a﹣lna≤e﹣1a≤e，
②当0＜a＜1时，由，
综上可知，所求a的取值范围为．