题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x₀）＞m（1﹣a²）成立，求实数m的取值范围．

答案

解：由题得：．
（Ⅰ）由已知，得且，
∴a²﹣a﹣2=0，
∵a＞0，∴a=2．
（Ⅱ）当0＜a≤2时，
∵，
∴，
∴当时，．
又，∴f"（x）≥0，故f（x）在上是增函数．
（Ⅲ）a∈（1，2）时，由（Ⅱ）知，
f（x）在上的最大值为，
于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式恒成立．
记，（1＜a＜2）
则，
当m=0时，，
∴g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）＜g（1）=0，由于a²﹣1＞0，
∴m≤0时不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，
∴．
若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有
g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0恒成立矛盾，故，
这时，g"（a）＞0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）＞g（1）=0，满足题设要求，
∴，即，
，实数m的取值范围为．