题目

题型：广东省月考题难度：来源：

设函数x（x∈R），其中m＞0．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值；
（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

答案

解：（1）当，
故f"（1）=﹣1+2=1，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1．
（2）f"（x）=﹣x²+2x+m²﹣1，令f"（x）=0，解得x=1﹣m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1﹣m，当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1﹣m，1+m）内是增函数．
函数f（x）在x=1-m处取得极小值f（1﹣m），且f（1﹣m）=，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f（1+m）=．
（3）由题设，，
∴方程有两个相异的实根x₁，x₂，
故，∵m＞0
解得m，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞．
∵对任意的x∈[x₁，x₂]，x﹣x₁≥0，x﹣x₂≤0，
则，
又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m²﹣＜0，
解得，
∵由上m，
综上，m的取值范围是（，）．