题目
题型:广西自治区月考题难度:来源:
(Ⅰ)当n=1时,函数f(x)在x=3取得极值,求a值;
(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x﹣1.
答案
当n=1时,,
所以f′(x)=.
∵函数f(x)在x=3取得极值,
∴f′(3)=0
∴1﹣a+3a=0
∴
∴
∴函数在(1,3)上,f′(x)<0;在(3,+∞)上,f′(x)>0
∴时,函数f(x)在x=3取得极值
(Ⅱ)证明:当a=1时,
当x≥2时,对任意的正整数n,恒有,
故只需证明1+ln(x﹣1)≤x﹣1.
令h(x)=x﹣1﹣[1+ln(x﹣1)]=x﹣2﹣ln(x﹣1),x∈[2,+∞),
则,
当x≥2时,h"(x)≥0,
故h(x)在[2,+∞)上单调递增,
因此当x≥2时,h(x)≥h(2)=0,即1+ln(x﹣1)≤x﹣1成立.
故当x≥2时, 有.
即f(x)≤x﹣1.
核心考点
试题【已知函数,其中n∈N*,a为常数.(Ⅰ)当n=1时,函数f(x)在x=3取得极值,求a值;(Ⅱ)当a=1时,证明:对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x﹣】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)试求实数a的取值范围.
(2)若a=2,求f(x)=c有三个不同实根时,c的取值范围.
(说明:第二问能用f(x)表达即可,不必算出最结果.)
(1)用x,a表示f(x);
(2)设函数g(x)=2x3﹣3af′(x)﹣6a3如果g(x)在区间(0,1)上存在极小值,求实数a的取值范围
B.f(﹣1)与f(1)
C.f(﹣2)与f(2)
D.f(2)与f(﹣2)
(I)若点P(0,﹣2)在函数f(x)的图象上,求a的值和函数f(x)的极小值;
(II)若函数f(x)在(﹣1,1)上是单调递减函数,求a的最大值.
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