题目

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=﹣x³+bx²﹣3a²x（a≠0）在x=a处取得极值，
（1）用x，a表示f（x）；
（2）设函数g（x）=2x³﹣3af′（x）﹣6a³如果g（x）在区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围

答案

解：（1）由题得 f′（x）=﹣x²+2bx﹣3a²，
因为f′（a）=0b=2af（x）=﹣x³+2ax²﹣3a²x
所以f（x）=﹣x³+2ax²﹣3a²x．
（2）由已知，g（x）=2x³+3ax²﹣12a²x+3a³，
令g"（x）=0x=a或x=﹣2a
①若a＞0当x＜a或x＞﹣2a时，g′（x）＞0；
当﹣2a＜x＜a时，g′（x）＜0
所以当x=a∈（0，1）时，g（x）在（0，1）有极小值。
②同理当a＜0时，x=﹣2a∈（0，1），即a∈（﹣，0）时，g（x）在（0，1）有极小值。
综上所述：当a∈（0，1）∪（﹣，0）时，g（x）在（0，1）有极小值。