题目

题型：北京月考题难度：来源：

设函数
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处取得极小值是，求a、b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数f（x）在（﹣1，1）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．

答案

解：（I）∵f"（x）=x²﹣2（a+1）x+4a
∴f"（3）=9﹣6（a+1）+4a=0得
∵解得：b=﹣4
（II）∵f"（x）=x²﹣2（a+1）x+4a=（x﹣2a）（x﹣2）
令f"（x）=0，即x=2a或x=2．
当a＞1时，2a＞2，
∴f"（x）＞0时，x＞2a或x＜2，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2）和（2a，+∞）．
当a=1时，f"（x）=（x﹣2）²≥0，即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．
当a＜1时，2a＜2，∴f"（x）＞0时，x＜2a或x＞2，
即f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2a）和（2，+∞）．
（Ⅲ）由题意可得：
∴（2a﹣1）（2a+1）＜0
∴
∴a的取值范围