题目

题型：北京期末题难度：来源：

给定函数和
（I）求证：f（x）总有两个极值点；
（II）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．

答案

证明：（I）因为f"（x）=x²﹣2ax+（a²﹣1）=[x﹣（a+1）][x﹣（a﹣1）]，
令f"（x）=0，则x₁=a+1，x₂=a﹣1， 则
当x＜a﹣1时，f"（x）＞0，
当a﹣1＜x＜a+1，f"（x）＜0
所以x=a﹣1为f（x）的一个极大值点，
同理可证x=a+1为f（x）的一个极小值点．
（II） 因为，
令g"（x）=0，则x₁=a，x₂=﹣a
因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x₁=a和a+1，a﹣1不可能相等，
所以当﹣a=a+1时，，
当﹣a=a﹣1时，，
经检验，和时，x₁=a，x₂=﹣a都是g（x）的极值点．