题目
题型:姜堰市模拟难度:来源:
(Ⅰ)求此平行线的距离;
(Ⅱ)若存在x使不等式
x-m |
f(x) |
x |
(Ⅲ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域中的任意实数x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差.求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
答案
1 |
x |
y=f(x)的图象与坐标轴的交点为(0,a),y=g(x)的图象与坐标轴的交点为(a,0),
∵函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
∴f"(0)=g"(a),即a=
1 |
a |
又∵a>0,∴a=1.
∴f(x)=ex,g(x)=lnx,
∴函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为:x-y+1=0,x-y-1=0
∴两平行切线间的距离为
2 |
(Ⅱ)由
x-m |
f(x) |
x |
x-m |
ex |
x |
x |
令h(x)=x-
x |
当x=0时,m<0;
当x>0时,∵h′(x)=1-(
1 | ||
2
|
x |
1 | ||
2
|
x |
∵x>0,∴
1 | ||
2
|
x |
|
2 |
1 | ||
2
|
x |
2 |
故h′(x)=1-(
1 | ||
2
|
x |
即h(x)=x-
x |
即实数m的取值范围为(-∞,0).
(Ⅲ)证法一:∵函数y=f(x)和y=g(x)的偏差为:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞)
∴F′(x)=ex-
1 |
x |
设x=t为F′(x)=ex-
1 |
x |
当x∈(t,+∞),F"(x)>0,∴F(x)在(0,t)单调递减,在(t,+∞)单调递增
∴F(x)min=et-lnt=et-ln
1 |
et |
∵f"(1)=e-1>0,f′(
1 |
2 |
e |
1 |
2 |
故F(x)min=et+t=e
1 |
2 |
1 |
2 |
e |
1 |
2 |
2.25 |
1 |
2 |
即函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
证法二:由于函数y=f(x)和y=g(x)的偏差:F(x)=|f(x)-g(x)|=ex-lnx,x∈(0,+∞)
令F1(x)=ex-x,x∈(0,+∞);令F2(x)=x-lnx,x∈(0,+∞)
∵F1′(x)=ex-1,F2′(x)=1-
1 |
x |
1-x |
x |
∴F1(x)在(0,+∞)单调递增,F2(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增
∴F1(x)>F1(0)=1,F2(x)≥F2(1)=1,
∴F(x)=ex-lnx=F1(x)+F2(x)>2
即函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
核心考点
试题【函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且函数y=f(x)和y=g(x)的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.(Ⅰ)求此平行线的距离;】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数F(x)=g(x)+
1 |
x |
(Ⅲ)对于函数y=f(x)和y=g(x)公共定义域中的任意实数x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数在x0处的偏差,求证:函数y=f(x)和y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
t |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若
1 |
2 |
2an | ||
1+
|
1 |
b1 |
1 |
b2 |
1 |
bn |
n |
2 |
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