题目

题型：不详难度：来源：

已知定义在R上的奇函数f（x）=x³+bx²+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4成立．

答案

（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴b=d=0，f（x）=x³+cx∴f"（x）=3x²+c
∵在x=±1处取得极值∴f"（1）=0∴c=-3
∴f（x）=x³-3x；
（2）证明：∵f"（x）=3x²-3
∴令f"（x）=3x²-3=0，x=±1且-1＜x＜1时，f"（x）＜0，函数f（x）单调递减
∵f（x）_max=f（-1）=2，f（x）_min=f（1）=-2
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=f（-1）-f（1）2+2=4．