题目
题型:保定一模难度:来源:
ax |
x+1 |
(1)求函数f(x)的极值;
(2)当a>0时,若对任意的x≥0,恒有f (x)≥0,求实数a的取值范围;
(3)设x∈N且x>2,试证明:lnx>
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
x |
答案
f′(x)=
1 |
1+x |
a |
(1+x)2 |
x+1-a |
(1+x)2 |
①当a≤0时,恒有x+1-a>0,恒有f′(x)>0,f(x)在(-1,+∞)上单调递增,无极值;
②当a>0时,由f′(x)=0得x=a-1,
当x∈(-1,a-1)时,f′(x)<0,当x∈(a-1,+∞)时,f′(x)>0,
故函数f(x)在(-1,a-1)上单调递减,在(a-1,+∞)上单调递增,
故当x=a-1时f(x)取得极小值,无极大值,极小值为f(a-1)=lna+1-a.
(2)当0<a≤1时,y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)≥f(0)=0,所以满足题意;
当a>1时,由(1)可知应有f(a-1)=lna+1-a≥0(*)成立,
令g(a)=lna+1-a,则g′(a)=
1 |
a |
1-a |
a |
所以g(a)<0,即f(a-1)=g(a)<0,与(*)不符,
所以a的取值范围是0<a≤1.
(3)由(2)可知,ln(1+x)≥
x |
x+1 |
所以lnx=ln(
2 |
1 |
3 |
2 |
x |
x-1 |
3 |
2 |
x |
x-1 |
1 |
2 |
1 |
x-1 |
>
1 |
2 |
| ||
1+
|
| ||
1+
|
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
x |
核心考点
试题【设函数f(x)=ln(1+x)-axx+1(a∈R).(1)求函数f(x)的极值;(2)当a>0时,若对任意的x≥0,恒有f (x)≥0,求实数a的取值范围;(】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)若函数y=f(x)有三个极值点,求t的取值范围;
(Ⅱ)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立.求正整数m的最大值.
A.
| B.e2 | C.e | D.10 |
sinx |
sinx+cosx |
1 |
2 |
π |
4 |
A.y=-
| B.y=
| C.y=-
| D.y=
|
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
(I)求f(x)的单调区间与极值;
(II)求方程f(x)=0的实数解的个数.
a |
x |
1 |
2 |
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