题目
题型:许昌三模难度:来源:
(Ⅰ)若函数y=f(x)有三个极值点,求t的取值范围;
(Ⅱ)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立.求正整数m的最大值.
答案
∵f(x)有三个极值点,∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个根,
令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)
∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上递增,(-1,3)上递减,
∵g(x)有三个零点,
∴
|
∴-8<t<24…(4分)
(II)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x.
转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立.
即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立.
即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立…(6分)
设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ(x)=-g-x-2x+6.
设r(x)=φ(x)=-g-x-2x+6,则r′(x)=g-x-2,因为1≤x≤m,有r′(x)<0.
故r(x)在区间[1,m]上是减函数…(8分)
又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0
故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0.
当1≤x<x0时,有φ′(x)>0,当x>x0时,有φ′(x)<0.
从而y=φ(x)在区间[1,x0)上递增,在区间(x0,+∞)上递减…(10分)
又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0
φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0
所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;当x≥6时,恒有φ(x)<0;
故使命题成立的正整数m的最大值为5.…(12分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t )ex,(t∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)若函数y=f(x)有三个极值点,求t的取值范围;(Ⅱ)若存在实数t∈[】;主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.
| B.e2 | C.e | D.10 |
sinx |
sinx+cosx |
1 |
2 |
π |
4 |
A.y=-
| B.y=
| C.y=-
| D.y=
|
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
3 |
(I)求f(x)的单调区间与极值;
(II)求方程f(x)=0的实数解的个数.
a |
x |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
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