已知P是抛物线C：x2=2y上异于原点的一点．（1）过P点的切线l1与x轴、y轴分别交于点M、N，求PMMN的值；（2）过P点与切线l1垂直的直线l2与抛物线 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知P是抛物线C：x²=2y上异于原点的一点．
（1）过P点的切线l₁与x轴、y轴分别交于点M、N，求

的值；
（2）过P点与切线l₁垂直的直线l₂与抛物线C交于另一点Q，且与x轴、y轴分别交于点S、T，求

的取值范围．

答案

（1）设点P(x0，

) (x0≠0)，
∵y"=x，故过点P的切线方程为y-

=x0(x-x0)，
令y=0得x=

，
又N点的横坐标为0，故M为PN的中点，
∴

=1；（4分）
（2）设直线l：y=kx+b，由题意k≠0，b≠0则T（0，b）
分别过P，Q作PP"⊥x轴，QQ"⊥x轴，垂足分别为P"，Q"，
则

P′P

Q′Q

，
由

x2=2y

y=kx+b

消去x得y²-2（k²+b）y+b²=0
则

y1+y2=2(k2+b)

y1y2=b2

（7分）
∴

≥2b

y1y2

=2b•

=2，（9分）
又y₁≠y₂，
∴

的取值范围是（2，+∞）．

核心考点

试题【已知P是抛物线C：x2=2y上异于原点的一点．（1）过P点的切线l1与x轴、y轴分别交于点M、N，求PMMN的值；（2）过P点与切线l1垂直的直线l2与抛物线】；主要考察你对函数极值与最值等知识点的理解。[详细]

举一反三

若曲线f(x)=x-

在点（a，f（a））处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a=（　　）

A．64

B．32

C．16

D．8

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已知函数f(x)=4x3-3x2sinθ+

，其中x∈R，θ∈（0，π）．
（Ⅰ）若f′（x）的最小值为-

，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）的极小值大于零，求θ的取值范围．

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函数f(x)=

x2+a

x+1

(a∈R)．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为

，求实数a的值；
（2）若f（x）在x=1取得极值，求函数f（x）的单调区间．

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在△A_nB_nC_n中，记角A_n、B_n、C_n所对的边分别为a_n、b_n、c_n，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边a_n=n+1，则

lim

n→∞

Cn=（　　）

A．

B．

C．

D．

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已知函数f（x）=e^x（ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=4x+2．
（1）求常数a，b的值；
（2）求证：曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；
（3）是否存在常数k，使得x∈[-2，-1]，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由．

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