题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知函数，
(Ⅰ)若函数f(x)在(0，+∞)上为单调增函数，求a的取值范围；
(Ⅱ)设m，n∈R⁺，且m≠n，求证：。

答案

(Ⅰ)解：，
因为f（x）在(0，+∞)为单调增函数，
所以f′(x)≥0在（0，十∞）上恒成立，即x²+(2-2a)x+l≥0在(0，+∞)上恒成立，
当x∈(0，+∞)时，由x²+(2-2a)x+l≥0，
得，
设，，
所以，当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2，
所以2a-2≤2，所以，a≤2，
所以a的取值范围是(-∞，2]。
(Ⅱ)不妨设m＞n＞0，则，
要证，只需证，
即证，只需证，
设，
由(Ⅰ)知，h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，
又，
所以，，即成立，
所以，。