题目

题型：北京模拟题难度：来源：

如图所示，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角E-DF-C的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论。

答案

解：(1)在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
又AB平面DEF，EF平面DEF，
∴AB∥平面DEF。 (2)∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，
∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，
如图，取CD的中点M，连接EM，则EM∥AD，
∴EM⊥平面BCD，
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角，
易知，在Rt△EMN中，EM=1，，
∴。
(3)在线段BC上存在点P，使AP⊥DE，
证明如下：如图（甲），在线段BC上取点P，使，
过P点作PQ⊥CD于点Q，连接AQ，
∴PQ⊥平面ACD，
∴PQ⊥DE，
，且AD=2，
∴∠DAQ=30°，
又△ADE为等边三角形，
∴AQ⊥DE，
又AQ∩PQ=Q，
∴DE⊥平面APQ，
∵AP平面APQ，
∴AP⊥DE．