题目

题型：北京期末题难度：来源：

已知函数f（x）=．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间．

答案

解：（I）当a=1时，f（x）=，x∈（0，+∞），
所以f "（x）=x+1+，
因此，f "（1）=3，即曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，
又f（1）=，故y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣=3（x﹣1），
所以曲线，即3x﹣y﹣=0；
（Ⅱ）因为 =，x∈（0，+∞），
令g（x）=x²+（2a﹣1）x+a²，x∈（0，+∞），
（1）当时，g（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，
故当时，f ’（x）≥0在区间（0，+∞）恒成立，
所以，当时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
（2）当时，由g（x）=0，得，
故f（x）=0的两个根为，
①由f "（x）＜0，得x₁＜x＜x₂，故函数的单调递减区间为（x₁，x₂）；
②由f "（x）＞0，得0＜x＜x₁，或x＞x₂，
故函数的单调递增区间为（0，x₁）和（x₂，+∞）；
故当时，函数的单调增区间为（0，）和（，+∞）；函数的单调递减区间为（，）
综上所述：当时，f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数；
时，函数的单调增区间为（0，）和（，+∞）；
函数的单调递减区间为（，）