题目

题型：不详难度：来源：

设数列{a_n}满足a₁=1，3（a₁+a₂+…+a_n）=（n+2）a_n，求通项a_n．

答案

设数列{a_n}的前n项和为S_n，
则由3（a₁+a₂+…+a_n）=（n+2）a_n可得3S_n=（n+2）a_n，
∴3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2），两式相减，得
3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1，即

an

an-1

=

n+1

n-1

（n≥2）．
∴

a2

a1

=

3

1

，

a3

a2

=

4

2

，

a4

a3

=

5

3

，…，

an

an-1

=

n+1

n-1

（n≥2），
将以上各式相乘，得

an

a1

=

n(n+1)

2

，又a₁=1满足该式式，
∴a_n=

n(n+1)

2

（n∈N^*）．