题目

题型：期末题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+bx²+ax+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

答案

解：（Ⅰ）∵f（x）的图象经过P（0，2），
∴d=2，
∴f（x）=x³+bx²+ax+2，f"（x）=3x²+2bx+a．
∵点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0
∴f"（x）|_x=﹣1=3x²+2bx+a|_x=﹣1=3﹣2b+a=6①，
还可以得到，f（﹣1）=y=1，
即点M（﹣1，1）满足f（x）方程，得到﹣1+b﹣a+2=1②
由①、②联立得b=a=﹣3
故所求的解析式是f（x）=x³﹣3x²﹣3x+2．
（Ⅱ）f"（x）=3x²﹣6x﹣3．，
令3x²﹣6x﹣3=0，即x²﹣2x﹣1=0．解得 ．
当 ；
当 ．
故f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣ ），（1+ ，+∞）；
单调减区间为（1﹣ ，1+ ）