题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且.
①若a1≥3,求证:an≥n+2;
②若a1=4,试比较与的大小,并说明你的理由.
答案
∴,∴f′(x)=a+﹣.
要使函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,
则在(0,+∞)内f′(x)恒大于0或恒小于0,
当a=0时,f′(x)=﹣<0在(0,+∞)内恒成立;
当a>0时,要使f′(x)=a(﹣)2+a﹣>0恒成立,
则a﹣>0,解得a>1,
当a<0时,要使f′(x)=a(﹣)2+a﹣><0恒成立,
则a﹣<0,解得a<﹣1,
所以a的取值范围为a>1或a<﹣1或a=0.
(2)①∵函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,
∴f′(1)=0,即a+a﹣2=0,解得 a=1
∴f′(x)=(﹣1)2,an+1=an2﹣nan+1
下面用数学归纳法证明:
(Ⅰ)当n=1,a1≥3=1+2,不等式成立;
(Ⅱ)假设当n=k时,不等式成立,
即:ak≥k+2,∴ak﹣k≥2>0,
∴ak+1=ak(ak﹣k )+1≥2(k+2)+1=( k+3)+k+2>k+3
也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2成立
根据(Ⅰ)(Ⅱ)对于所有n≥1,都有an≥n+2成立
②由①得an=an﹣1(an﹣1﹣2n+2)+1≥an﹣1[2(n﹣1)+2﹣2n+2]+1=2an﹣1+1,
于是an+1≥2(an﹣1+1)(n≥2),
所以a2+1≥2(a1+1),a3+1≥2(a2+1)…,an+1≥2(an﹣1+1)
累乘得:an+1≤2n﹣1(a1+1),则≤ (n≥2),
所以≤ (1++…+ )= (1﹣ )<.
核心考点
试题【已知函数.(1)若函数f(x)在其定域义内为单调函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且.①若a1≥3,求证:an≥n】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(I)求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若在区间上至少存在一个实数x0,使f(x0)>g(x0)成立,试求正实数a的取值范围。
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求f(a1)+f(a2)+…+f(an);
(3)求证:.
B. (﹣∞,1)
C. (﹣∞,1]
D.
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