题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

x3+2x2+5x+t

ex

（1）当t=5时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值．

答案

（1）当t=5时，f（x）=

x3+2x2+5x+5

ex

，∴f′(x)=

-x(x2-x+1)

ex

，
其中x²-x+1＞0，由f′（x）＞0，得x＜0，由f′（x）＜0，得x＞0，
所以，f（x）的增区间为（-∞，0），减区间为（0，+∞）；
（2）不等式f（x）≤x，即（x³+2x²+5x+t）e^-x≤x，即t≤xe^x-x³-2x²-5x．
转化为存在实数t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式t≤xe^x-x³-2x²-5x恒成立，即不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，m]恒成立，
当m≤0时，则有不等式e^x-x²-2x-5≤0对于x∈[-4，m]恒成立，
设g（x）=e^x-x²-2x-5，则g′（x）=e^x-2x-2，又m为整数，
则当m=-1时，则有-4≤x≤-1，此时g′（x）=e^x-2x-2＞0，
则g（x）在[-4，-1]上为增函数，∴g（x）≤g（-1）＜0恒成立．
m=0时，当-1＜x≤0时，因为[g′（x）]′=e^x-2＜0，则g′（x）在（-1，0]上为减函数，
g′（-1）=e^-1＞0，g′（0）=-1＜0，故存在唯一x₀∈（-1，0]，使得g′（x₀）=0，即ex0=2x₀+2，
则当-4≤x＜x₀，有g′（x）＞0，；当x₀＜x≤0时，有g′（x）＜0；
故函数g（x）在区间[-4，x₀]上为增函数，在区间[x₀，0]上为减函数，
则函数g（x）在区间[-4，0]上的最大值为g(x0)=ex0-x02-2x₀-5，
又ex0=2x₀+2，则g（x₀）=（2x₀+2）-x02-2x₀-5=-x02-3＜0，
故不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x∈[-4，0]恒成立，
而当m=1时，不等式0≤xe^x-x³-2x²-5x对于x=1不成立．
综上得，m=0．