题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=(a-

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)e2x+x．（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2ae^x下方，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
则f"（x）=（2a-1）e^2x+1≥0在区间（-∞，0）上恒成立．                          
即1-2a≤

1

e2x

，而当x∈（-∞，0）时，

1

e2x

＞1，故1-2a≤1．                  
∴a≥0．                                                                
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2aex=(a-

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)e2x-2aex+x，定义域为R．
在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2ae^x下方等价于g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立．
∵g"（x）=（2a-1）e^2x-2ae^x+1=（e^x-1）[（2a-1）e^x-1]，
①若a＞

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，令g"（x）=0，得极值点x₁=0，x2=ln

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2a-1

，
当x₂＞x₁=0，即

1

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＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g"（x）＞0，此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂≤x₁=0，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（0，+∞）上，
有g（x）∈（g（0），+∞），也不合题意；                                          
②若a≤

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，则有2a-1≤0，此时在区间（0，+∞）上恒有g"（x）＜0，从而g（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(0)=-a-

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≤0⇒a≥-

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，
由此求得a的范围是[-

1

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，

1

2

]．                                            
综合①②可知，当a∈[-

1

2

，

1

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]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ae^x下方．